2.1.1  指数与指数幂的运算（2）
 
从容说课
指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，了解无理数指数幂的概念.
分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法.教学中可以通过根式和分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解.
由于学生已经有了负整数指数幂的学习经历，正分数指数幂的概念引入后，学生不难理解负分数指数幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出
a=（a＞0，m、n均为正整数，且n＞1）.
三维目标
一、知识与技能
1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.
2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.
二、过程与方法
1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.
2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.
3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.
 
三、情感态度与价值观
1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.
2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.
3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.
教学重点
1.分数指数幂的含义的理解.
2.根式与分数指数幂的互化.
3.有理指数幂的运算性质的掌握.
教学难点
1.分数指数幂概念的理解.
2.有理指数幂的运算和化简.
教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的作业.
教学过程
一、回顾旧知，探索规律，引入新课
师：上节课学习了n次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习.
（多媒体显示如下练习，生口答）
①=________；②=________；③=________；④=________.
生：①2  ②3  ③25  ④34.
师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？
（组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）
=25=2，=34=3.
师：你对上面的总结是什么呢?
生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.
师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？
（生思考片刻，师继续阐述）
师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.
二、讲解新课
（一）分数指数幂的意义
师：，，等通过类比可以写成什么形式？说明了什么问题?
生：a，b，c.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式.
师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗?
（生在师的指导下，得出一般性的结论）
（师板书正分数指数幂的意义）
规定：正数的正分数指数幂的意义是a=（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.
师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？
生：负整数指数幂的意义为a－n=（a≠0，n∈N*）.
师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？
（组织学生讨论交流，得出如下结论）
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.
规定：a==（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.
我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？
合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？
（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a＞0的合理性）
若无此条件会引起混乱，例如，（－1）和（－1）应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）==－1；（－1）===1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.
方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子=a（a＞0）中，若无a＞0这个条件，=|a|；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，=－=－2.
知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上.
（二）有理数指数幂的运算法则
师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.
（生口答，师板书）
对于任意的有理数r、s，均有下面的运算性质：
①aras=ar+s（a＞0，r、s∈Q）；
②（ar）s=ars（a＞0，r、s∈Q）；
③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r、s∈Q）.
（三）例题讲解
【例1】 求值：8；25；（）－5；（）.
（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写）
解：8=（23）=2×=22=4；
25=（52）=5=5－1=；
（）－5=（2－1）－5=25=32；
（）=（）=（）－3=.
【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：
a3·；a2·；.
（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）
解：a3·=a3·a=a=a；
a2·=a2·a=a=a；
=（a·a）=（a）=a.
方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）：
（1）（2ab）（－6ab）÷（－3ab）；
（2）（mn）8.
解：（1）（2ab）（－6ab）÷（－3ab）=［2×（－6）÷（－3）］ab=4ab0=4a；
（2）（mn）8=（m）8（n）8=m2n－3=.
【例4】 计算下列各式：
（1）（－）÷；
（2）（a＞0）.
解：（1）（－）÷=（5－5）÷5=5÷5－5÷5=5－5=5－5=－5；
（2）==a=a=.
三、巩固练习
课本P63练习：1，2，3.
（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）
解：1.a=；a=；a=；a=.
2.（1）=x；（2）=（a+b）；（3）=（m－n）；
（4）=（m－n）=（m－n）2；
（5）=（p6q5）=pq=|p|3q；
（6）=m=m.
3.（1）（）=［（）2］=（）3=；
（2）2××=2×3×（）×（22×3）=2×3=2×3=6；
（3）aaa=a=a（a＞0）；
（4）2x（x－2x）=2××x－2×2×x=x0－4x－1=1－.
四、课堂小结
师：本节课你有哪些收获?能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.
（生交流，师投影显示如下知识要点）
1.分数指数幂的意义
规定：正数的正分数指数幂的意义是a=（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a==（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.
我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.
3.有理数指数幂的运算法则
①aras=ar+s（a＞0，r、s∈Q）；
②（ar）s=ars（a＞0，r、s∈Q）；
③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r、s∈Q）.
五、布置作业
课本P69习题2.1A组第2，4题.
板书设计
2.1.1  指数与指数幂的运算（2）
1.分数指数幂的意义
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算法则
3.例题讲解与学生训练
4.课堂小结
5.布置作业