2.1.1  指数与指数幂的运算（3）
 
从容说课
指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，在学习了分数指数幂的概念和运算性质的基础上，必须了解无理数指数幂的概念.
无理数指数是指数概念的又一次推广，无理数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生通过多媒体的演示理解无理数指数幂的意义.教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，进一步巩固加深对这一概念的理解.
由于学生已经有了有理数指数幂的运算性质的学习经历，无理数指数幂的概念引入后，学生不难理解实数指数幂的运算性质，教学中，可以引导学生自己得出结论.
得出了实数指数幂的运算性质，我们才能进一步学习指数函数.
三维目标
一、知识与技能
1.理解无理数指数幂的含义.
2.掌握无理数指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简.
二、过程与方法
1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.
2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.
3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂与无理数指数幂之间的内在联系，培养学生辩证地分析问题、认识问题的能力.
 
三、情感态度与价值观
1.通过无理数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类对事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.
2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解无理数指数幂的意义.
3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.
教学重点
1.无理数指数幂的含义的理解.
2.无理数指数幂的运算性质的掌握.
教学难点
1.无理数指数幂概念的理解.
2.实数指数幂的运算和化简.
教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的作业.
教学过程
一、回顾旧知，探索规律，引入新课
师：我们所学习的数的进化过程是怎样的?
生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.
师：从有理数到实数有什么补充?
生：无理数.
师：上节课学习了分数指数幂的概念及有理数指数幂的运算性质，指数的取值范围由整数推广到了有理数.那么，当指数是无理数时，我们又应当如何来处理呢?
（众生思考，议论纷纷，但无结果）
师：这就是我们本节课要学习的无理数指数幂.
二、讲解新课
（一）无理数指数幂的意义
师：不妨看这样一个例子：5这个数的结果是一个什么数?为什么?
生：无理数.因为指数是无理数，所以它也是无理数.
师：我们从具体的数据来看一下是否成立呢?
（多媒体操作显示如下图片）
的过剩近似值
5的近似值
1.5
11.18033989
1.42
9.829635328
1.415
9.750851808
1.4143
9.73987262
1.41422
9.738618643
1.414214
9.738524602
1.4142136
9.738518332
1.41421357
9.738517862
1.414213563
9.738517752
……
……
 
5的近似值
的不足近似值
9.518269694
1.4
9.672669973
1.41
9.735171039
1.414
9.738305174
1.4142
9.738461907
1.41421
9.738508928
1.414213
9.738516765
1.4142135
9.738517705
1.41421356
9.738517736
1.414213562
……
……
师：你发现上面的两表具有什么样的规律？
生：第一张表是从大于的方向逼近，5就从51.5，51.42，51.415，51.4143，…，即大于5的方向逼近5；第二张表是从小于的方向逼近，5就从51.4，51.41，51.414，51.4142，…，即小于5的方向逼近5.
师：因此，我们可以得出这样一个结论：5肯定是一个什么数?
生：实数.
一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数.
师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论无理数指数幂的意义时，对底数a也有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？
合作探究：在规定无理数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？
（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a＞0的合理性）
若无此条件会引起混乱，如若a=－1，那么aα是+1还是－1就不确定了.
（二）指数幂的运算法则
师：有理数的运算性质能否适用于无理数呢?
生：因为无理数指数幂也是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算.
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
有理数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.
（生口答，师板书）
对于任意的实数r、s，均有下面的运算性质：
①aras=ar+s（a＞0，r、s∈R）；
②（ar）s=ars（a＞0，r、s∈R）；
③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r、s∈R）.
 
（三）例题讲解
【例1】 使用计算器计算下列各式的值：（保留到小数点后第四位）
（1）0.21.52；（2）3.14－2；
（3）3.1；（4）5.
解：（1）0.21.52≈0.0866；
（2）3.14－2≈0.1014；
（3）3.1≈2.1261；
（4）5≈9.7385.
【例2】 化简下列各式：
（1）+－；
（2）+－；
（3）+.
（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）
解：（1）+－=+－=
+－=（x－1）+（x－x+1）－x（x+1）=x－1+x－x+1－x－x=－x.
（2）+－=+－=（－）+（2－）－（2－）=－+2－－2+=0.
（3）+=+
= +=+
= =1.
方法引导：化简（1）这类式子，要考虑运算公式；化简（2）这类式子，要考虑根号里面可能是一个平方数；化简（3）这类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.
【例3】 写出使下列等式成立的x的取值范围：
（1）（）3=；
（2）=（5－x）.
解：（1）只需有意义，即x≠3，
∴x的取值范围是（－∞，3）∪（3，+∞）.
（2）∵==|x－5|，
∴|x－5|=（5－x）成立的充要条件是x+5=0或
即x=－5或
∴x的取值范围是［－5，5］.
三、巩固练习
课本P63练习：4
（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）
4.（1）1.3346；（2）0.0737；（3）0.9330；（4）0.0885.
四、课堂小结
师：本节课你有哪些收获，能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.
（生交流，师投影显示如下知识要点）
1.无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数.
2.指数幂的运算法则
①aras=ar+s（a＞0，r、s∈R）；
②（ar）s=ars（a＞0，r、s∈R）；
③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r、s∈R）.
五、布置作业
课本P69习题2.1A组第3题，B组第2题.
板书设计
2.1.1  指数与指数幂的运算（3）
1.无理数指数幂的意义
2.指数幂的运算法则
3.例题讲解与学生训练
4.课堂小结
5.布置作业